Аппроксимация функций при дополнительных условиях в функциональных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
Работа выполнена в Дагестанском сельскохозяйственном институте.
Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент В. Н. БУРОВ
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Н. А. ШИРОКОВ кандидат физико-математических наук, доцент Н. Б. ТИХОМИРОВ
Ведущая организация — Саикт-Петербургскнй университет.
Защита состоится « 1992 г. в ^^ часов на
заседании специализированного совета К.ИЗ.05.14 в Российском государственном педагогическом университете имени Л. И. Герцена по адресу: 191186, С.-Петербург, наб. р. Мойки, 48, ауд. 210, корп. 1, математический факультет.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета по адресу: 191186, наб. р. Мойки, 48, фундаментальная библиотека.
Ученый секретарь специализированного совета Е. В. БАРАНОВА
. . ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
^'■'-лАу^уальность темы. Важным разделом теории приближения являет-
'(Гг-еЫроксиыация функций при наличии ограничений (дополнительных условий) на приближающий аппарат.•Начало этой проблематике положено еще знаменитыми работами П.Л.Чебышева о разыскании алгебраического полинома степени п со старшим коэффициентом, равным единице, норма которого в пространстве С Г"'.минимальна. Дальнейшее разлитие идей П.Л.Чесшева в этом направлении имело место в работах его последователей Е.П.Золотарева, А.А.Маркова, Н.И.Ахлезера, С.Н.Еершптейна.
Более общей является задача наилучшей аппроксимации с одной линейно:! связью, впервые рассмотренная В.А.Марковым. В дальнейшем аналогичные задачи с одной или несколькими линейны?,и связями исследовались А.П.Пшеборским, Я.Л.Геронимусом, Д.Г.Гребеню-ком, Б.А.Рымаренко, Е.В.Вороновской, С.Пашковским, В.С.Виденским, Е.Г.Гольштейном, Н.".Черных, И.Марущаком, В.К.Дзядыком, Ал.'А.Приваловы?,1 л другими. В этих работах изучаются вопросы о существовании, единственности и характеристических свойствах полинома наилучшего приближения, рассматриваются относящиеся к тог,ту же кругу различные экстремальные задачи и др. вопросы. При этом в качестве аппарата приближения использовалось классическое че-бышевское подпространство ( Т -пространство).
В последние 20-25 лет широкое применение в различных областях математики нашли пространства более общие, чем Т -пространство, такие, как обобщенные чебкиевские ( 6Т -пространства), обобщенные слабо чебышевские (С^Т -пространства) и другие (см. работы Г.Я.Ярахмедова, Р.Джонс и Л.Карловитц, М.Б.Коробковой, Б.П.Черника и др.), причем активно развивается круг вопросов, связанный с задачей наилучшего приближения функций элементами таких подпространств. Но во всех этих работах рассматриваются задачи обычной аппроксимации (без ограничений).
Поэтому исследование вопросов наилучшего приближения функций элементами ОТ и йИ/Т -пространств при наличии дополнительных условий представляется актуальной задачей теоретического и практического значения.
1) ввести в рассмотрение такие ограничения на аппроксимирующий аппарат из -пространства, которые бы позволили для соответствующих задач наилучшего приближения с ограничениями
в пространстве Ь°°(Х) получить аналога классических теорем о равномерном приближении на Х=[С1,£>] непрерывных функций элементами Т -пространства (в частности, теорем П.ЛЛебышева и Балле Пуссена) ;
2) усилить некоторые результаты, полученные для задачи аппрок симации с ограничениями в пространстве С(Х) ;
3) распространить на случай приближения в [/00, 2 £ р + °о, элементами 6Т и йИ/Т -пространств некоторые из результатов, установленных для задач наилучшего приближения функций с ограничениями и без ограничений элементами Т -пространства.
Научная новизна. В диссертации:
1) доказаны некоторые аналоги классических теорем Д.Л.Чебы-пева и Балле Пуссена для задач наилучшего приближения с ограничениями и без ограничений в Ь (X) элементами С?Т и -прс странств, дополняющие результаты Я.Л.Геронимуса, Г.Я.Ярахмедо-ва и др. ;
2) установлен комплексный аналог известного неравенства В.А.Маркова, являющийся и уточнением его;
3) доказана теорема об экстремальных свойствах заданного коэффициента полинома наилучшего приближения в Ь (X) элементами (?Т -пространства ;
4) улучшен результат С.Пашковского, относящийся к задаче аппроксимации с интерполяционными связями ;
5) получен алгоритм построения полинома наилучшего приближения с интегральными связями I ЬР(Х), Р?2.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и относится к направлению фундаментальных исследований Практическая ценность работы заключается в возможности применения результатов исследования как в теории приближений, в частности, при решении задач наилучшего приближения с ограничениями в пространстве ЬР(Х), р- +сс , так и в вычислительной мате матике. Отдельные вопросы могут быть включены в спецкурсы по теории приближений.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.
Структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы из 77 наименования и занимает 112 страниц машинописного текста.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В первой главе приводятся некоторые необходимые для дальнейшего сведения из теории функций и вводятся понятия и обозначения, применяемые во всей работе. В частности, здесь определяются налагаемые на аппарат приближения ограничения, а также вводится понятие квази-альтернанса.
Пусть X - произвольное множество положительной меры Лебега на вещественной прямой. Обозначим через L (X) пространство L -измеримых существенно ограниченных вещественных функций3^, заданных на X , с нормой
IK0!! = vrai sup \Ш)\. осёХ
Говорят, что L -измеримая функция <Р(х) к, раз меняет знак на множестве £ с X » если найдется такое семейство
( измеримых множеств £ положительной меры, что (-l)Lf(.x)>0 (< СО-
при Xefii (.1 = 1.2,. ••, Ы).
Пространство На L-измеримых функций ?0(х), ..f^Cx), заданных на К , называется обобщенным чебышевским —Q Т -пространством, если выполняется условие
к) Функции и f(z) в L°°(X) считаются эквивалент-
ными, если mes X (?&) = 0.
кх) Символ используется для обозначения семейст-
ва непустых множеств /IjcX , для которых
Slip fjj £ inj (j-1,2. m-i).
и всякий полином из Нп меняет знак не более гь раз на множест ве X .
Вторая глава посвящена исследованию задач наилучшего приближения с ограничениями типа интегральных и супер-линейных связей
в Ь^М, +оо, Х=[й-Л1 , полиномами -простран-
В § I получены некоторые аналоги классических теорем П.Л.Че-бышева об альтернансе и Балле Пуссена об оценке наилучшего приближения для случая аппроксимации с интегральными связями в С°(Х)
ат -пространство в , где X = [а,&']
(й'<а, 6<&) . Зафиксируем некоторое семейство Е отрезков = . причем а.бёЦ ек,
и пусть J = ^ . Обозначим через
функций , суммируемых на X и существенно ограниченных
Рассматривается задача наилучшего приближения с интегральными связями
фиксированной функции, (X) \ Нп , где Нп(1>£) -
множество полиномов, удовлетворяющих V интегральным связям
к) В автореферате сохраняется нумерация теорем и лемм, приведенная в диссертации.
Теорема 1.2. Для любой (функции £ (X) полином наилуч-
шего приближения в Hn(f,£) существует.
Говорят, что L -измеримая функция /(я) , определенная на А', меняет знак в точке ЗС0<^Х , если существуют такие числа £.,>0, ¿2>0 , что х)>0 (¿0) почти всюду на (xc-£1f £<>) ^
функций (Х)£ L (X) \ [Оj имеет обобщенный к -членный альтернате на X , если для любого & ( шах ЦÇjj Ц) существует семейство множеств