Диаграммы Гаусса и инварианты Васильева узлов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Защита состоится " 4 " декабря 2006 года в 16 часов в аудитории 301 на заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, ауд. 204.

Автореферат разослан " 1%» ОуСут2ооб года.

Учёный секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность и история вопроса. Классическая теория узлов и зацеплений, как часть топологии, изучает широкий круг задач, связанных с расположением одномерных многообразий внутри трехмерного пространства К3 или трехмерной сферы S3. Ее истоки восходят к концу восемнадцатого века. Уже у К. Гаусса в записных книжках встречаются заузленные геометрические объекты похожие на косы и узлы, он же вывел интегральную формулу для коэффициента зацепления двух замкнутых кривых в пространстве.

Основная задача теории узлов и зацеплений состоит в их классификации с точностью до изотопии в IR3. Эта задача полностью по решена до сих пор. Традиционный подход к этой проблеме состоит в построении алгебраических изотопических инвариантов.

Задачами теории узлов систематически начал заниматься П. Тейт под влиянием У. Томпсона (лорд Кельвин) в конце XIX века. Они предприняли попытку построения геометрической теории для решения некоторых задач из области математической физики.

Как самостоятельная ветвь топологии теория узлов сформировалась в начале 30-х годов XX века после работ Дж. Александера1, в которых был открыт полиномиальный инвариант узлов и установлена связь теории узлов с теорией кос. В 1933 г. К. Рейдемейстер2 определил движения, сводящие пространственную изотопию узлов к преобразованию их диаграмм на плоскости.

Полиномиальные инварианты играют важную роль в теории узлов. В последние годы построено много различных полиномиальных инвариантов, появление которых стимулировано работой В. Джонса3 в 1984 г. В этой работе был открыт новый подход к построению полиномиальных инвариантов для узлов и зацеплений. Полином Джонса различает некоторые узлы, не отличимые с помощью полинома Александера.

Вскоре полиномиальные инварианты получили обобщение в конструкциях квантовых инвариантов узлов, в теории инвариантов конечного порядка. Наиболее значимые результаты здесь получены в последние три десятилетия. Эти достижения связаны с именами Дж. Коявея, В. Джонса, В.А. Васильева,

1 Alexander J.W. Topological invariants of knot and links, Transi. Amer. Math. Soc. 1923. V. 20. P. 275-306.

2Reidemeister K. Knotten und gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1933.

3Jones V.F.R., A polynomial invariant for links via von Neumann algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 198S. V. 129. P. 311-334.

М.Л. Концевича, M.H. Гусарова, Дж. Бирман и др. Инварианты узлов конечного порядка (называемые также в литературе "инвариантами Васильева") были введены В.А. Васильевым4 и М.Н. Гусаровым5 в начале 1990-х годов. На данный момент это самый сильный класс инвариантов. Подход В.А. Васильева основан на теории особенностей и использует дискретные производные для распространения инвариантов на пространство сингулярных узлов. Немногим позже М.Н. Гусаров независимо предложил более геометрическое описание этих инвариантов.

Пространство инвариантов конечного порядка имеет естественную фильтрацию. Соответствующее градуированное векторное пространство возможно описать в терминах хордовых диаграмм, которое имеет структуру алгебры Хопфа. Алгебра хордовых диаграмм активно изучалась в работал Д. Бар-Натана6, C.B. Дужина, С.К. Ландо, C.B. Чмутова7.

Связь классических полиномиальных инвариантов узлов с инвариантами конечного порядка изучалась Дж. Бирман, Кс. Лин8, И.А. Дынниковым9.

Значительный вклад в эту новую теорию был сделан М.Л. Концевичем10, построившим универсальный инвариант Z(K) для инвариантов конечного порядка узлов. Определение Концевича для Z(K) использует сложные кратные интегралы от логарифмических дифференциальных форм oj¡j = которые зависят от реализации узла как гладкой кривой в К3.

П. Картье, Т. Лс, Дж. Мураками и С. Пиунихин дали комбинаторную конструкцию для Z