§ 7. Алгебра с двумя операциями . Кольцо

Кольцом называется непустое множество R , на котором введены две бинарные операции + и ° , называемые сложением и умножением такие, что:

1) R; + является абелевой группой;

2) умножение ассоциативно, т.е. для a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для

a,b,c R: a ° ( b+c)=(a ° b)+( а ° c) и ( а +b) ° c= (a ° c)+(b ° c) .

Кольцо называется коммутативным, если для a,b R: a ° b=b ° a .

Кольцо записываем как R; +, ° .

Так как R является абелевой (коммутативной) группой относительно сложения, то она имеет аддитивную единицу, которую обозначают через 0 или θ и называют нулем. Аддитивную обратную для a R обозначают через -а. При этом в любом кольце R имеем:

Тогда получаем, что

x ° y=x ° (y+ 0 )=x ° y+ x ° 0 x ° 0 = 0 для х R; x ° y=( х + 0 ) ° y=x ° y+ 0 ° y 0 ° y= 0 для y R .

Итак, мы показали, что для х R: x ° 0 = 0 ° х = 0 . Однако из равенства x ° y=0 не следует, что х = 0 или у = 0. Покажем это на примере.

Пример. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке [a,b] функций. Введем для этих функций обычные операции сложения и умножения: f(x)+ ϕ (x) и f(x)· ϕ (x) . Как легко видеть, получим кольцо, которое обозначается C[a,b] . Рассмотрим функцию f(x) и ϕ (x) , изображенные на рис. 2.3. Тогда получим, что f(x) ≡ / 0 и ϕ (x) ≡ / 0, но f(x)· ϕ (x) ≡0.

Мы доказали, что произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей: a ° 0 = 0 для a R и на примере показали, что может быть, что a ° b= 0 для a ≠ 0 и b ≠ 0.

Если в кольце R имеем, что a ° b= 0, то а называется левым, а b правым делителями нуля. Элемент 0 считаем тривиальным делителем нуля.

Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности.

Легко видеть, что

0 =x ° (y+(-y))=x ° y+x ° (-y), 0 =(x+(-x)) ° y=x ° y+(-x) ° y

и поэтому x ° (-y)=(-x) ° y является обратным элементом для элемента х ° у, т.е.

х ° (- у ) = (- х ) ° у = -( х ° у ) .

Аналогично можно показать, что (- х ) ° (- у ) = х ° у.

§ 8. Кольцо с единицей

Если в кольце R существует единица относительно умножения, то эту мультипликативную единицу обозначают через 1.

Легко доказать, что мультипликативная единица (как и аддитивная) единственна. Мультипликативную обратную для a R (обратную по умножению) будем обозначать через а -1 .

Теорема 2.9 . Элементы 0 и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R .

Доказательство. Пусть R содержит не только 0. Тогда для a ≠ 0 имеем а ° 0 = 0 и а ° 1 = а ≠ 0, откуда следует, что 0 ≠ 1, ибо если бы 0 = 1, то и их произведения на а совпадали бы.

Теорема 2.10 . Аддитивная единица, т.е. 0 , не имеет мультипликативного обратного.

Доказательство. а ° 0 = 0 ° а = 0 ≠ 1 для а R . Таким образом, ненулевое кольцо никогда не будет группой относительно умножения.

Характеристикой кольца R называют наименьшее натуральное число k

такое, что a + a + . + a = 0 для всех a R . Характеристика кольца

записывается k=char R . Если указанного числа k не существует, то полагаем char R= 0.

Пусть Z – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел; С – множество всех комплексных чисел.

Каждое из множеств Z, Q, R, C с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Эти кольца являются коммутативными, с мультипликативной единицей, равной числу 1. Эти кольца не имеют делителей нуля, следовательно, являются областями целостности. Характеристика каждого из этих колец равна нулю.

Кольцо непрерывных на [a,b] функций (кольцо C[a,b] ) тоже является кольцом с мультипликативной единицей, которая совпадает с функцией, тождественно равной единице на [a,b] . Это кольцо имеет делители нуля, поэтому не является областью целостности и char C[a,b]= 0.

Рассмотрим ещё один пример. Пусть М - непустое множество и R= 2 M - множество всех подмножеств множества М. На R введем две операции: симметрическую разность А + В = А В (которую назовём сложением) и пересечение (которое назовём умножением). Можно убедиться, что получили

кольцо с единицей; аддитивной единицей этого кольца будет , а мультипликативной единицей кольца будет множество М. Для этого кольца при любом А , А R , имеем: А + А = А А = . Следовательно, charR = 2 .

§ 9. Поле

Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения.

Приведем прямое определение поля, перечисляя все аксиомы.

Поле – это множество P с двумя бинарными операциями « + » и « ° », называемыми сложением и умножением, такими, что:

1) сложение ассоциативно: для a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ;

2) существует аддитивная единица: 0 P , что для a P: a+ 0 = 0 +a=a ;

3) существует обратный элемент по сложению: для a P (-a) P:

4) сложение коммутативно: для a, b P: a+b=b+a ;

(аксиомы 1 – 4 означают, что поле есть абелева группа по сложению);

5) умножение ассоциативно: для a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;

6) существует мультипликативная единица: 1 P , что для a P:

7) для любого ненулевого элемента (a ≠ 0) существует обратный элемент по умножению : для a P, a ≠ 0 , a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;

8) умножение коммутативно: для a,b P: a ° b=b ° a ;

(аксиомы 5 – 8 означают, что поле без нулевого элемента образует коммутативную группу по умножению);

9) умножение дистрибутивно относительно сложения: для a, b, c P: a ° (b+c)=(a ° b)+(a ° c), (b+c) ° a=(b ° a)+(c ° a) .

1) R;+, - поле вещественных чисел;

2) Q;+, - поле рациональных чисел;

3) C;+, - поле комплексных чисел;

4) пусть Р 2 =. Определим, что 1 + 2 0=0 + 2 1=1,

1 + 2 1=0, 0 + 2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Тогда F 2 = P 2 ;+ 2 , является полем и называется двоичной арифметикой.

Теорема 2.11 . Если а ≠ 0, то в поле единственным образом разрешимо уравнение а ° х =b .

Доказательство . a ° x=b a -1 ° (a ° x)=a -1 ° b (a -1 ° a) ° x=a -1 ° b

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.