12.3. РАВЕНСТВА, НЕРАВЕНСТВА МАТРИЦ, СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СКАЛЯР

Простейшей частью нашей задачи, как это было и в векторной алгебре (см. 11.4), является определение равенства, неравенства и умножения матриц на скаляр. Эти правила являются естественным развитием соответствующих правил, установленных для векторов.

Введем матрицы А = [ars], В = [fcrs] иС = [crsJ размерности т X п, которыми будем пользоваться в последующем изложении.

Равенство и неравенство матриц. Определение равенства и неравенства матриц соответственно таково:

А = В, если ars = brs, и А > В, если ars > brs

для всех г и s (г = 1, 2, . т\ s = 1, 2, . п).

Для матриц, так же как и для векторов (см. 11.4), представляет некоторую трудность определение соотношения «больше или равно». Здесь мы будем иметь два обозначения:

А^В, если ars>brs, допуская, что могут все aTS= brs, А>В, если ars>&rs, не включая случая, когда все ars = brs, для всех г и s (г = 1, 2, . m\ s = 1, 2, . и).

Выражение АВ включает А = В, А > В, а также случай, когда для некоторых г и s ars>brs и ars= brs для других г и s. В выражении А>В случай А = В исключается.

Как частный случай рассмотрим соотношение матрицы А и нулевой той же размерности. Выражение А = О означает, что каждый элемент матрицы А равен нулю, то есть А сама является нулевой матрицей. Выражение А>0 означает, что матрица А положительна, то есть все ее элементы положительны. Выражения А ^ 0 и А > О означают, что матрица А неотрицательна, то есть она не содержит отрицательных элементов; некоторые ее элементы положительны, а другие равны нулю.

Сложение матриц. Определением сложения матриц является: Г 8

С = А + В, ЄСЛИ frs==ar8+fy для всех г и s (г = 1,2, . т; s = 1,2, . п). Это определение очень просто и согласуется с (3) из раздела 12.2. Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить попарно их соответствующие элементы. Это определение легко распространяется на случай более двух матриц. Однако необходимо подчеркнуть, что складывать матрицы А и В можно только в том случае, когда их размерность совпадает. «Сложение» матриц различной размерности, таких, как

Ъ1Х bl2 &13j L «21 а22 J Ь22 Ь23 J

вообще не имеет смысла. Приведем несколько простых примеров сложения матриц: Пример (а)

Пример (б) Пример (в)

Г1 2 ЗТ Г4 5 6П_Г5 7 9] L 4 5 6 J^L7 8 9 J L 11 13 15 J * Умножение матрицы на скаляр. Определение опять очень просто:

для любого скаляра X. Каждый элемент матрицы А (а не только элементы какой-нибудь одной строки или столбца) умножается на скаляр X. Скаляр X может иметь любое значение — положительное и отрицательное (а также равняться нулю. — Прим. ред.). Приведем несколько примеров: 1)

1 -т ' 41 1-4 ? . U -«J к

Сейчас мы рассмотрим несколько свойств и специальных случаев, относящихся к вышеприведенным определениям. Некоторые из "них связаны с правилами алгебры, которые мы перечислили в разделе 12.1. Все доказательства очень просты, в чем читатель без труда убедится. В дальнейшем изложении мы вновь будем пользоваться Матрицами A=[ars], B = [brs], С = [сГ8], . все—размерности тхп. I.

Сложение матриц коммутативно.

каждая из полученных в результате сложения матриц равна С, где

crs = ars + brs = brs + ars- II.

Сложение более двух матриц. Сумма матриц А, В, С, . получается повторным применением правила сложения двух матриц:

А + В + С+. =[(ars + brs + crs+. )]. III.

Сложение матриц ассоциативно. Закон (А2) из раздела 12.1:

А + (В + С) = (А + В) + С; каждая из полученных в результате сложения матриц равна D, где

Повторное сложение матрицы А равносильно умножению матрицы на целое положительное число X = N (N = 1, 2, 3, . ):

А + А = [2ars] = 2А, А + А + A = [3are] = 3A

Умножение матрицы на скаляр подчиняется законам (S2 —5) из раздела 12.1:

0. А = 0; 1. А = A; k^A) = lliA; Х(А+В) = ХА + ХВ и + = +

Вообще ХА + (хВ + vC + . есть матрица т X п с общим элементом

(^ars + H^rs + vcrs +•••)• VI.

Сложение матрицы с нулевой матрицей не изменяет первоначальной матрицы:

Следовательно, нулевая матрица играет роль нулевого элемента [закон (А4 из раздела 12.1]. VII.

Вычитание двух матриц. Закон (А5) из раздела 12.1. Определим сперва отрицательную матрицу как результат умножения

на скаляр ( — 1), то есть —А есть А, все элементы которой меняют знак на противоположный:

Теперь определим действие вычитания как сложение одной матрицы с другой отрицательной (противоположной. — Ред.) по отношению к ней

В частности, А—А = А + ( — А) = 0, где 0 —нулевая матрица тхп. Этот результат согласуется с определением равенства матриц, так как А — В = 0 означает А = В.

Задачи и упражнения 1.

Доказать свойства I — VII, обратив особое внимание на свойство V. 2.

Проверить, что определение противоположной матрицы (—А) в VII равносильно А + ( — А) = 0 (см. правило (А5) из раздела 12.1). 3.

Обобщить этот случай. 4.

Написать A-j-B и А—В для

4 5 6 I и В= 6 5 4. 7 8 9 J L3 2 1. 5.

Показать, что умножение матрицы на скаляр, или ЯА, сводится к повторному сложению матриц, если А,рациональное число вида p/q (р и q—целые числа),