Оцифровка и аппроксимация графиков функций при помощи Wolfram Mathematica и Graph Digitizer

С задачей оцифровки графиков функций и кривых приходится сталкиваться почти каждому инженеру и студенту. Традиционный «ручной» метод очень неудобен и к тому же вносит большие погрешности в данные. Для единоразовой задачи этот метод не так плох, но если графиков больше чем один и на каждом изображена не одна кривая, а семейство кривых?

В процессе выполнения лабораторных практикумов по физике перед мной часто встает задача определить значение функции по её графику представленному на бумаге, для выполнения дальнейших расчётов. Так как обработка подобных графиков на компьютере значительно повышает скорость и точность этого процесса, то было решено изучить возможности для оцифровки графика и построения математической модели кривой, представленной на графике.

В качестве примера, я взял график зависимости КПД генератора от его мощности из лабораторного практикума по электротехнике. Входе выполнения работы мной было выполнено сканирование графика, обработка изображения графика, оцифровка координат и построение математической модели кривой.

1. Подготовка изображения

После сканирования первым делом необходимо привести полученное изображение к полноценному контрасту и выровнять одну из осей графика. Далее необходимо увеличить резкость и изменить размер изображения. При слишком большом размере и разрешении возникают трудности на последующих этапах работы.

Обработку изображений я рекомендую программу Adobe Photoshop. При помощи инструмента Curves добиваемся полноценного контраста, далее при помощи фильтра Smart Sharpen повышаем резкость. Несомненным плюсом Photoshop является возможность обработки большого количества изображений путем записи экшена (Action) и применения его совместно с пакетной обработкой (File – batch processing).

Для большего ускорения процесса обработку можно производить в программе сканирования при помощи заранее заготовленных пресетов или автоматических алгоритмов.

Рисунок 1.1 – Изображение графика До обработки и После обработки

2. Оцифровка координат

Для оцифровки координат я использовал условно-бесплатную программу GetData Graph Digitize версии 2.26. После запуска программы открываем наше обработанное изображение «Файл – Открыть изображение». После открытия, перед нами предстанет стандартное рабочее пространство.

Рисунок 2.1 – Стандартный интерфейс Graph Digitize

Первое, что нам необходимо сделать – это установить систему координат, т.е. обозначить линии осей. Для этого переходим «Команды – Установить систему координат». Далее зажав ЛКМ находим точку начала координат и кликаем по ней. В появившемся окне вводим значение начала координат (Xmin). Далее аналогично устанавливаем значения Xmax, Ymin и Ymax. Для удобной установки точек необходимо открыть окошко лупы «Вид — Лупа». После установки опорных точек отобразятся линии осей и откроется окно «Параметры Системы координат» в котором можно переназначить значения опорных точек и установить логарифмический масштаб оси.

Для визуального контроля качества установки СК можно отобразить сетку с заданным шагом «Вид – Показывать сетку». В случае корректной установки СК линии сетки должны быть строго параллельны линиям на изображении графика. Стоит отметить, что при сканировании разворотов график часто оказывается в районе сгиба, и одна из осей получается изогнутой. В данном случае корректно установить СК не представляется возможным, поэтому на этапе сканирования следует плотнее прижимать разворот к стеклу.

Рисунок 2.2 – Вид с установленной системой координат и сеткой

Приступим к установке точек на графике. Для этого перейдем в режим установки точек (Ctrl+P). В данном режиме клик ЛКМ устанавливает новую точку. Для отображения таблицы координат выбранных точек необходимо перейти «Вид – Окно информации». Для удаления точек используется ластик точек данных «Команды — Ластик точек данных» (Ctrl + E)

По моему опыту большее количество точек необходимо устанавливать в окрестности точек перегиба кривой, на линейных участках кривой можно ограничится небольшим их количеством.

Если на графике присутствует больше чем 1 кривая или семейство кривых, то после установки точек на первой нужно добавить новую линию «Команды – Добавить линию». После чего можно будет выставить точки на второй кривой и т.д.

Если на изображении графика нет сетки, то можно воспользоваться автоматическим алгоритмом трассировки кривой (Ctrl + T). При наличии сетки алгоритм выдает много ошибок.

Рисунок 2.3 – Вид с установленными точками на кривой

Для дальнейшей обработки полученных данных необходимо экспортировать координаты точек в .txt файл или в буфер обмена (удобно в случае если у нас только одна кривая). В программе GetData Graph Digitize экспорт в .txt выполняется вызовом команды «Файл – Экспорт данных» (Ctrl + Alt + E). После нажатия в открывшемся окне предлагается задать путь сохранения и имя файла.

Создано программой GetData Graph Digitizer 2.26.0.20, дата создания October 01 2017, 21:16, на основе файла 'C:\Users\Андрей\Downloads\Статья Хабр\pr-1\IMG.jpg'

Линия #1 0.00000000000000 0.00000000000000 2.36249828804472 0.0100017499987319 4.64890967470313 0.0144478880812405 9.19129768746544 0.0211179194797685 9.25216720857449 0.0255624090127471 13.8097726016141 0.0333435627945197 18.3369432340991 0.0389024718098030 25.1353078729653 0.0477963965243503 27.4217192596237 0.0522425346068590 34.2048665182127 0.0600253369381616 34.2961707998762 0.0666920712376295 38.7929066718068 0.0700287354864236 41.1097528190197 0.0766971183354215 45.6825755923365 0.0855893945004388 52.4657228509255 0.0933721968317414 54.8130037586929 0.102262824447229 61.5961510172819 0.110045626778531 66.1841911708760 0.120049025326793 70.7417965639155 0.127830179108566 73.0282079505739 0.132276317191075 77.6010307238908 0.141168593356092 84.3689606022025 0.147840273304150 86.7010241296927 0.155619778536392 91.3042816635640 0.166734299467899 95.8466696763263 0.173404330866427 98.1635158235393 0.180072713715425 102.721121216579 0.187853867497197 111.805897242103 0.201193930294253 114.137960769594 0.208973435526496 118.710783542910 0.217865711691513 125.478713421222 0.224537391639571 132.277078060088 0.233431316354119 134.578706827024 0.238988576819872 141.361854085613 0.246771379151175 145.904242098375 0.253441410549703 152.733041497796 0.264557580030739 157.275429510558 0.271227611429267 164.058576769147 0.279010413760570 168.616182162187 0.286791567542342 173.158570174949 0.293461598940870 179.926500053261 0.300133278888928 184.468888066023 0.306803310287456 191.236817944335 0.313474990235514 193.538446711271 0.319032250701268 198.050399963478 0.323480037333306 204.818329841790 0.330151717281364 211.571042339824 0.335712274846178 218.323754837859 0.341272832410991 227.332443961997 0.349057283291824 231.844397214205 0.353505069923862 240.883521098898 0.363511765571184 247.621016216655 0.367961200752753 252.117752088585 0.371297865001547 256.629705340793 0.375745651633586 263.367200458550 0.380195086815154 272.375889582689 0.387979537695987 274.647083589070 0.391314553395251 283.625337952654 0.396876759509595 290.393267830965 0.403548439457653 299.371522194549 0.409110645571996 306.139452072861 0.415782325520054 315.132923816722 0.422455654017642 324.095960800028 0.426906737748741 333.089432543889 0.433580066246329 339.842145041924 0.439140623811142 353.317135277438 0.448039494174280 357.829088529646 0.452487280806318 364.566583647403 0.456936715987887 375.770379876536 0.462500570651760 389.230152731773 0.470288318631653 398.208407095357 0.475850524745997 407.156226698386 0.479190486093851 420.615999553624 0.486978234073743 429.609471297485 0.493651562571331 440.798050146340 0.498104294851960 454.242605621300 0.504780920448608 467.641508955428 0.508124178895523 476.574111178180 0.510353017860132 485.537148161487 0.514804101591231 498.951268875892 0.519258482421390 521.282774432772 0.524830579832913 541.388738124103 0.530401028694907 554.802858838508 0.534855409525066 565.961002926809 0.537085897039205 581.600665506764 0.541541926418894 597.225110706442 0.544886833415338 617.331074397772 0.550457282277332 641.872904439924 0.554919905855141 659.722891505151 0.558266461401115 679.828855196482 0.563836910263109 697.678842261709 0.567183465809083 708.836986350010 0.569413953323222 726.671756034959 0.571649386485952 735.619575637989 0.574989347833806 753.454345322938 0.577224780996536 789.139102073114 0.582806769705239 809.214631003891 0.586154973800744 833.741243665765 0.589506474995308 849.335254104888 0.590629137225263 860.508615573467 0.593970747122647 884.989576094510 0.593988881167477 905.065105025286 0.597337085262982 916.223249113588 0.599567572777121 925.125416575785 0.599574166975241 947.350400470724 0.597368407704052 960.734086424575 0.599600543767722 998.598732899469 0.601850813876222 1032.02751302354 0.605208909268906 1052.04217243321 0.604112623831432 1078.74867481980 0.604132406425792 1105.45517720639 0.604152189020153 1121.01875288496 0.603052606483618 1165.49915543539 0.600863332707730 1181.04751373369 0.598652627787951 1192.16000568116 0.597549748152356 1203.27249762862 0.596446868516762 1223.27193965801 0.594239460696043 1234.35399684493 0.590914336293959 1249.91757252350 0.589814753757425 1260.99962971041 0.586489629355341 1274.30722876288 0.583166153502787 1285.40450333007 0.580952151483948 1303.13275135308 0.575409727963965 1316.45556778582 0.573197374494656 1331.98870870383 0.569875547191632 1345.28109037602 0.565440948955834 1360.79901391376 0.561007999269566 1371.88107110067 0.557682874867482 1385.18867015314 0.554359399014928 1396.27072734005 0.551034274612844 1411.80386825807 0.547712447309821 1420.66038357943 0.544385674358207 1431.74244076635 0.541060549956123 1442.82449795326 0.537735425554039 1453.87612037962 0.532188056385466 1467.19893681236 0.529975702916157 1476.05545213373 0.526648929964543 1484.88153269454 0.521099912246440 1498.17391436673 0.516665314010642 1509.24075417337 0.512229067225314 1522.54835322583 0.508905591372760 1533.63041041275 0.505580466970676 1546.90757470466 0.500034746351633 1557.97441451129 0.495598499566305 1564.60538796711 0.492270078065161 1573.44668590820 0.487832182730302 1588.94939206566 0.482288110660789 1599.98579711174 0.475629619108972

В меню «Установки – Параметры» устанавливается формат вывода данных. Там же можно включить сортировку точек по значению координаты X, если на вашей кривой для каждого X существует уникальный Y, для исключения случайных ошибок в последовательности установке точек.

Рисунок 2.4 – Установки экспорта

3. Построение математической модели кривой

В финале выполним аппроксимацию полученных данных и проверим корректность полученной математической модели. Для этого я предлагаю использовать систему компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

Для быстрого импорта данных в Wolfram Mathematica скопируем координаты точек из экспортированного файла и вставим в пустую ячейку Excel. В итоге на листе появятся 2 колонки данных X и Y соответственно.

Рисунок 3.1 – Данные в Excel

Следующим шагом создаем новый документ Wolfram Mathematica и перетягиваем в него файл Excel. В итоге образуется список списков, содержащий координаты точек. Присвоим ему переменную data.

Рисунок 3.2 – Импортированные данные в Wolfram Mathematica

Отобразим импортированные данные при помощи функции ListPlot[].

Рисунок 3.3 – Графическое отображение точек в виде диаграммы разброса данных

Аппроксимируем точки полиномом 5й степени. Для этого используем функцию LinearModelFit[]. В итоге мы получим объект класса FittedModel[]. Присвоим ему переменную fit.

Вычислим коэффициент детерминации R^2, показывающий какую долю вариации (разброса) переменной, объясняет полученное уравнение. Чем ближе данный коэффициент к единице, тем большую долю вариации объясняет уравнение. Для этого в качестве аргумента функции fit укажем «RSquared». В данном случае R^2 = 0.99, это значит, что наша модель объясняет 99,9% вариации переменной.

Для вычисления значения Y необходимо в качестве аргумента к функции fit указать требуемое значение X.

Рисунок 3.4 – Аппроксимация точек, вычисление коэффициента детерминации и вычисление значения функции

Кроме вычисления коэффициента детерминации, проведем регрессионный анализ. В этот раз в качестве аргумента функции fit укажем «ANOVATable». По полученному результату, можно утверждать, что оправданно использование каждого члена аппроксимирующего полинома. Отобразим полученное уравнение в явном виде, для этого к переменной fit применим функцию Normal[].

Рисунок 3.5 – Регрессионный анализ и полином в явном виде

Далее построим график полинома и отобразим на нем исходные точки. При помощи стандартного синтаксиса настроим стиль графика добавим подписи к осям и название графика.

Рисунок 3.6 – Итоговый график

Рисунок 3.7 – Сравнение итогового графика с исходными данными

Возможности для анализа математической модели в Wolfram Mathematica воистину огромны, но мы ограничимся представленными выше. Интересующиеся могут узнать больше путем вычисления функции fit[«Properties»].

В итоге мы изучили возможности применения Wolfram Mathematica и Graph Digitizer для оцифровки графиков и подбора математической модели кривой. Использованное программное обеспечение позволяет выполнить поставленную задачу с минимальными усилиями и с высоким качеством.