3.10. Идеальное дифференцирующее звено

Примеры идеальных дифференцирующих звеньев изображены на рис. 3.25. Единственным идеальным дифференцирующим звеном, которое точно описывается уравнением (3.74), является тахогенератор постоянного тока (рис. 3.25, а), если в качестве входной величины рассматривать угол поворота его ротора, а в качестве выходной – напряжение якоря U. Приближенно в качестве идеального дифференцирующего звена может рассматриваться операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 3.25,б).

Рис. 3.25. Идеальные дифференцирующие звенья

Рис. 3.26. Переходная функция идеального дифференцирующего звена

Переходная функция звена при х1= 1(t);A(t) = k 1’(t) = k (t) представляет собой импульсную функцию, площадь которой равнаk(рис. 3.26). Функция веса представляет собой импульсную функцию второго порядка.

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны

A() = k;  = +90 0 при > 0;  = -90 0 при < 0. (3.78)

Частотные характеристики изображены на рис. 3.27.

Из амплитудной характеристики видно, что звено пропускает сигнал тем сильнее, чем выше его частота. Это свойство является в автоматических системах часто нежелательным, так как звено может в значительной степени повышать уровень действующих в системе помех, которые, как правило, являются высокочастотными.

Рис. 3.27. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) идеального дифференцирующего звена

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с положительным направлением оси мнимых.

ЛАХ строится по выражению

Нетрудно видеть, что ЛАХ представляет собой прямую с положительным наклоном 20 дБ/дек (рис. 3.28). Эта прямая пересекает ось нуля децибел при частоте среза .

Рис. 3.28. ЛАХ и ЛФХ идеального дифференцирующего звена

ЛФХ представляет собой прямую линию = +90 0 , параллельную оси частот.

3.11. Реальное дифференцирующее звено

Звено описывается уравнением

Передаточная функция звена

Звено условно можно представить в виде двух включенных последовательно звеньев – идеального дифференцирующего звена и апериодического звена первого порядка.

На рис. 3.29 изображены примеры реальных дифференцирующих звеньев: дифференцирующая RC-цепь (рис. 3.29, а), RL-цепь (рис. 3.29,б) и дифференцирующий трансформатор (рис. 3.29,в).

Рис. 3.29. Реальные дифференцирующие звенья

Переходная функция определяется решением (3.80) при х1 = 1(t) и нулевых начальных условиях

Временные характеристики изображены на рис. 3.30. Там же показаны построения, позволяющие по экспериментальным характеристикам определять параметры звена.

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны:

Рис. 3.30. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) реального дифференцирующего звена

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики звена изображены на рис. 3.31.

Рис. 3.31. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) реального дифференцирующего звена

Амплитудная характеристика реального звена отличается от амплитудной характеристики идеального дифференцирующего звена (показана пунктиром). Характеристики совпадают в области низких частот. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное звено. Коэффициент передачи стремится к значению k / T при . Для звеньев, представляющих собой RC- или RL-цепь (см. рис. 3.29), коэффициент k / T = 1, и на высоких частотах коэффициент передачи стремится к единице.

Это означает, что в дифференцирующей RC-цепи конденсатор имеет сопротивление, стремящееся к нулю, а в дифференцирующей RL-цепи индуктивность имеет сопротивление, стремящееся к бесконечности. И в том, и в другом случаях напряжение на выходе будет равно напряжению на входе.

Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю при . Здесь также видно, что реальное звено ведет себя подобно идеальному только в области низких частот.

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот представляет собой полуокружность с диаметром, равным k/T. На полуокружности нанесены характерные точки: . Дополнив эту полуокружность её зеркальным изображением относительно вещественной оси, получим полную амплитудно-фазовую характеристику для всех частот, лежащих в пределах .

ЛАХ строится по выражению

Для построения асимптотической ЛАХ (рис. 3.32) проведем вертикальную линию при сопрягающей частоте .

Рис. 3.32. ЛАХ и ЛФХ реального дифференцирующего звена

Левее этой линии, то есть при , можно воспользоваться приближенным выражением . Этому выражению соответствует прямая линия с положительным наклоном 20 дБ/дек (прямая а–b). Она может быть построена, например, по частоте среза .

Для частот можно пользоваться приближенным выражением . Этому выражению соответствует прямая, параллельная оси частот (b– с). Действительная ЛАХ отличается от асимптотической в точке излома «b» на величину 3 дБ.

На рис. 3.32 показана асимптотическая ЛАХ для случая k = 1 (ломаная прямая d–e–f).

ЛФХ строится по второму уравнению системы (3.85). Для этого сначала строится первое слагаемое 1= +90 0 , а затем второе2= –аrctg ωТ. Результирующая ЛФХ показана сплошной линией. При фазовый сдвиг равен +45 0 .