Радикалы решеточно упорядоченных колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.
доктор физико-математических наук, профессор Михалев Александр Васильевич.
доктор физико-математических наук, профессор Кожухов Игорь Борисович;
кандидат физико-математических наук, профессор Ширшова Елена Евгеньевна.
Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н. Толстого.
Защита диссертации состоится 14 мая 2010 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.
Автореферат разослан 14 апреля 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физ.-мат. наук, профессор
Общая характеристика работы Актуальность темы
Начало общей теории радикалов колец было положено Курошем и Амицуром в 1953 году. В своей работе1 А. Г. Курош ввел основные понятия теории радикалов, а также указал основные методы их построения; им были описаны характеристики радикальных и полупростых классов, построение нижнего и верхнего радикала, порожденного данным классом колец (алгебр). Монография В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Рябухина2 подвела итог общей теории радикалов в 80-х годах.
Теория радикалов помогает понять строение колец (алгебр) с помощью разбиения на полупростые и радикальные, которые уже проще описать. В XX веке было найдено большое число радикалов, которые нашли многочисленные применения в разных областях современной теории колец.
Важную роль в теории ассоциативных колец играет лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского3, которая говорит о том, что радикал идеала кольца R является идеалом кольца R.
В работе В. А. Андрунакиевича, А. В. Андрунакиевича4 радикал кольца представляется в виде пересечения односторонних идеалов, для каждого из которых выполнено условие: факторкольцо по наибольшему идеалу, содержащемуся в данном правом идеале, является полупростым. Там же наднильпотентный радикал кольца представляется в виде пересечения правых полупервичных идеалов с тем же условием.
В работе В. А. Андрунакиевича5 из класса наднильпотент-
1Курош А. Г. Радикалы колец и алгебр, Матем. сб., 1953, 33, номер 1, стр. 13-26
5Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория, Москва, Наука, 1979
3Anderson Т., Divinsky N., Sulinski A. Hereditary radicals in associative and alternative rings, Canadian Journal of Mathematics, Vol 17, pp. 594-603, 1965
4Андрунакиевич B.A., Андрунакиевич A.B. Односторонние идеалы и радикалы колец, ДАН СССР, т.259 N4, стр.11-15, 1981
'Андрунакиевич В.А. Радикалы ассоциативных колец, I, Математический сборник, 44, N-2, стр.179-212, 1958
ных радикалов выделен класс специальных радикалов, которому принадлежит значительная часть известных радикалов. В работе В. А. Андрунакиевича6 появляется понятие первичного модуля для характеризации первичного радикала.
В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин7 показали, что с помощью первичных модулей можно охарактеризовать специальные радикалы. Они определяют специальный класс модулей и показывают, что он задает радикал и что он связан со специальным классом колец. Если задан специальный класс колец, то специальный радикал кольца Л представляется в виде пересечения аннуляторов Я-модулей из соответствующего специального класса модулей. Приводятся примеры специальных классов модулей, в том числе класс всех первичных модулей.
Плодотворной оказалась идея распространить теорию радикалов на решеточно упорядоченные кольца (¿-кольца), что видно на примере исследований, проведенных в работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой.
М. А. Шаталова8 вводит понятия ¿-первичного и ¿-полупервичного /-идеала /-кольца и определяет радикал в классе /-колец аналогично тому, как он был определен Курошем для колец. В этой работе М. А. Шаталова изучает два радикала, определенные в классе решеточно упорядоченных колец: Л-радикал и /-радикал, и показывает их связь между собой. В другой статье? М. А. Шаталова вводит понятие специального класса решеточно упорядоченных колец, аналогичное определению В. А. Андрунакиевича для колец. В статье показано, что специальными классами являются класс всех /-первичных /-колец, класс всех /-первичных /-колец без локально нильпотентных /-идеалов, класс /-колец, не содержащих строго
'Андрунакиевич В.А. Первичные модули и радикал Бэра, Сиб. мат. журн., т.2, номер 6, стр.801-806, 1961
7Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Специальные модули и специальные радикалы, ДАН СССР, т.147, стр.1274-1277, 1962
'Шаталова М.А. 1а- и I/-кольца, Сибирский математический журнал, т.7, А,£6, стр.13831389, 1966
"Шаталова М.А. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах, Математические заметки, т.4, N4, стр.639-648, 1968
положительных делителей нуля, класс подпрямо неразложимых I-колец с i-идемпотентной сердцевиной.
А. В. Михалев и М. А. Шаталова10 изучили первичный радикал в классе решеточно упорядоченных колец, определенный как пересечение всех ¿-первичных Z-идеалов; доказали, что он совпадает с множеством элементов /-кольца, модуль которых принадлежит первичному радикалу, определенному в классе всех колец (равному пересечению всех первичных идеалов). А также ими было доказано, что он совпадает с пересечением минимальных ¿-первичных I-идеалов и со множеством всех строго ¿-нильпотентных элементов. В работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой11,12 содержится целый ряд интересных результатов в области упорядоченных модулей.
Диссертация посвящена дальнейшему исследованию радикальных классов решеточно упорядоченных колец.
Цель работы — изучение радикалов решеточно упорядоченных колец, получение их характеризации с помощью односторонних I-идеалов и с помощью аннуляторов решеточно упорядоченных модулей. Изучение специальных классов /-колец и специальных радикалов.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа изложена на 74 страницах и состоит из введения и пяти частей. Библиография включает 22 наименования.
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
10Михалев A.B., Шаталова М.А. Первичный ради кал решеточно упорядоченных колец, Сборник работ по алгебре, Москва, Изд-во МГУ, стр.178-184, 1989
"Михалев A.B., Шаталова М.А. Проективные и свободные упорядоченные модули // Ма-тем. заметки, 11, номер 1, стр. 41-52, 1972
12Михалев A.B., Шаталова М.А. Свободные упорядоченные модули // Матем. заметки, 12, номер 4, стр. 477-487, 1972
1. Доказано, что наднильпотентный радикал ¿-кольца равен пересечению всех ¿-полупервичных правых ¿-идеалов ¿-кольца, таких что факторкольцо по наибольшему ¿-идеалу, содержащемуся в данном правом ¿-идеале, является полупростым.
2. Доказано, что специальный радикал ¿-кольца равен пересечению всех правых ¿-первичных ¿-идеалов, таких что фактор-кольцо по наибольшему ¿-идеалу, содержащемуся в данном правом ¿-идеале, принадлежит специальному классу. Доказано, что первичный радикал ¿-кольца равен пересечению всех правых ¿-полупервичных ¿-идеалов.
3. Доказан аналог леммы Андерсона-Дивинского-Сулинского для случая специального радикала в классе ¿-колец.
4. Доказано, что специальный радикал ¿-кольца Я представляется в виде пересечения ¿-аннуляторов ¿-модулей над Я, принадлежащих специальному классу. В частности, первичный радикал ¿-кольца представляется в виде пересечения ¿-аннуляторов всех ¿-первичных ¿-модулей над Д.
Основные методы исследования
Для изучения специальных радикалов в классе решеточно упорядоченных колец используются классические методы теории колец и упорядоченной алгебры, а также развитые автором методы работы со специальными элементами ¿-колец.
Теоретическая и практическая ценность работы
Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории колец и упорядоченной алгебры.
Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по алгебре (сентябрь 2009); на семинаре „Кольца и модули" (октябрь 2009) на механико-математическом факультете МГУ; на международной алгебраической конференции, посвящён-ной 100-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша (Москва, 28 мая — 3 июня 2008 г.); на семинаре факультета математики университета Фурье г. Гренобля, Франция, в 2007 году.
Публикации автора по теме диссертации
Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-3].
Краткое содержание работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Во введении изложена краткая история вопроса и обоснована актуальность темы диссертации.
Первая глава носит предварительный характер. В основном, результаты первой главы были известны ранее. Их можно найти в книгах Г. Биркгофа13, JI. Фукса14, А. Бигара, К. Каймела, С. Вольфенштейна15.
В части 1.1 первой главы приводятся необходимые свойства элементов /-кольца. В части 1.2 приводятся свойства ¿-гомоморфизма I-колец. В части 1.3 дается определение ¿-идеала, правого ¿-идеала и изучаются их свойства.
Часть 1.4 посвящена теоремам об изоморфизме. Приводятся первая и вторая теоремы об изоморфизме (см. книгу А. Бигара,
13Биркгоф Г. Теория решеток, Москва, Мир, 1984
14 Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы, Москва, Наука, 1965
15Bigard A., Keimel К., Wolfenstein S. Groups et anneaux reticules, Berlin; Heidelberg; N.V.:
К. Каймела, С. Вольфенштейна16). Уточняется третья теорема об изоморфизме. В работе М. А. Шаталовой17 доказывается третья теорема об изоморфизме для случая, когда А и / являются ¿-идеалами ¿-кольца R. Известно, что для колец теорема остается верной, если А является только подкольцом в Д. В работе В. И. Арнаутова18 показано, что для топологических колец аналогичная теорема не верна, так как если А — топологическое под-кольцо, а / — идеал топологического кольца Д, то A+I не является топологическим кольцом; теорема будет верна, если А является идеалом. Однако в случае ¿-колец аналогичная теорема верна.
Третья теорема об изоморфизме для l-колец. Пусть R — I-кольцо, А — I-подкольцо, I — ¿-идеал ¿-кольца R. Тогда А + I — ¿-кольцо, А П I — I-идеал ¿-кольца А, I — ¿-идеал ¿-кольца А +1 и ¿-кольца (А + 1)/1 и 1/(АГ\ I) изоморфны.
В пунктах 1.5 и 1.6 изучаются пересечения и суммы ¿-идеалов, а также ¿-идеалы, порожденные подмножествами ¿-кольца, необходимые для доказательства теорем в дальнейшем.
Во второй главе мы вводим определения Z-первичного и I-полупервичного правого ¿-идеала.
Определение 3. Правый ¿-идеал Р ¿-кольца R называется £-первичным, если Р ф R и выполнено условие:
(1) для любых правых ¿-идеалов А, В ¿-кольца R, если АВ С Р, то либо АСР, либо ВСР, где
Определение 5. Правый l-идеал S l-кольца R называется l-полу-первичным, если для любого правого ¿-идеала А ¿-кольца R из
l8Bigard A., Keimel К., Wolfenstein S. Groups et anneaux reticules, Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1977
"Шаталова M.A. I а- и lj-кольца Ц Сибирский математический журнал, т.7, №6, стр.1383-1389, 1966
18Arnautov V.I. Properties of one-sided ideals of topologocal rings // Buletmul Academiei de §tiin