Теория полярных форм и полиномиальные сплайны с кратными узлами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ
на заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная пл., д. 2, математико-механичсский факультет, ауд. 4526
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.
Автореферат разослан " " 1997 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, доцент
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Полярная форма введена де Кастельжо Ii Ремшоу в 1985 г. Полярной формой алгебраического полинома
называется симметрический, мультиаффинный полином от г переменных вида
основные симметрические полиномы. Значения полярной формы (2) при конкретных значениях называ-
В теории полярных форм основное внимание уделялось алгоритмическим аспектам. В настояшей работе построены аналитические основы теории полярных форм и осуществлено развитие этой теории на случай полиномиальных сплайнов с простыми и кратными узлами. Это выводит теорию полярных форм на новый математический уровень, обогащает теорию полиномиальных сплайнов и позволяет более эффективно развивать технологии моделирования кривых.
1) Построение аналитических основ теории полярных форм.
2) Развитие теории полярных форм на случай полиномиальных сплайнов со строго упорядоченными (простыми) и повторяющимися (кратными) узлами.
3) Постановка и исследование вопроса о разрешимости задачи сплайн-интерполяцхш по полюсам.
4) Применение теории полярных форм для обоснования понятия характеристического многоугольника полиномиального сплайна и совершенствования алгоритмов геометрического моделирования кривых.
Методика исследования. В работе использовались методы теории полиномиальных сплайнов, а также свойства симметрических полиномов и разделённых разностей с кратными узлами.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.
1) Доказана однозначная разрешимость задачи интерполяции по полюсам полинома.
2) Получены фундаментальные решения задачи интерполяции по полюсам полинома. В частном случае значений полюсов и расположения узлов интерполяционный по полюсам полином является полиномом Бернштейна.
3) Получен полярный аналог формулы Ньютона для интерполяционного по полюсам полинома.
4) Введены понятия полярной формы и полюса полиномиального сплайна для случаев простых и кратных узлов. Установлена связь полюсов полиномиального сплайна с полюсами составляющих его полиномов.
5) Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи сплайн-интерполяции по полюсам для случаев простых и кратных узлов.
6) Предложен численный метод решения задачи сплайн-интерполяции по простым полюсам.
7) С точки зрения теории полярных форм построен характеристический многоугольник полиномиального сплайна и обоснованы алгоритмы геометрического моделирования кривых.
Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при разработке автоматизированных систем моделирования кривых.
Апробация работы и публикации. По результатам диссертации сделаны доклады на семинаре кафедры исследования операций и семинаре по нелинейным экстремальным задачам при С.-Петербургском университете, на С.-Петербургском городском семинаре по конструктивной теории функций, на научно-методическом семинаре С.-Петербургского института машиностроения. По теме диссертации опубликованы две работы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 18 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации — 114 страниц. Список литературы насчитывает 37 наименований. В диссертации имеется 10 рисунков.
Во введении дан краткий исторический обзор и сформулированы основные результаты диссертации.
Глава I посвящена построению аналитических основ теории полярных форм.
В §1-3 приведены важные для дальнейшего технические результаты. В частности, получен полярный аналог формулы Тейлора:
где ш(х) = (х — — £2) • • • (х — &)• Установлена лемма о нулях полярной формы: Пусть Р(х) - полином вида (1) и xq - его корень кратности к. Тогда любой полюс вида р(. ,хр. . . ) ра-
В §4 поставлена задача интерполяции по полюсам полинома: найти алгебраический полином Р(х) такой, что
j>(6. £+P_i) =yi, г = l. r+1, (3)
где 6 <&<■••< Сг < £г+1 < £г+2 < . < Ьг и у. уг+1 -произвольные фиксированные числа. Доказана однозначная разрешимость задачи (3) при любых правых частях. Установлено, что фундаментальными решениями задачи (3) являются полиномы, значения которых при х £ (£„£4.1) являются значениями нормализованных В-сплайнов
где = тах[0, ит]. В частном случае, при 0 = £1 = £2 = • • • = 1 = = £г+2 — . — (,'2г и У] = /(^г) решением интерполяционной задачи (3) является полином Бернштейна:
В §5 показано, что составная полиномиальная кривая, построенная по полюсам . ,£,-+г_1), = 1,2. г + т + 1, расширенной сеТКИ уЗЛОВ £() < 6 < ' " ' < = а < £г+1 < • • ■ < £г+т < ¡3 =