Конспект урока "Сфера. Сечения шара плоскостью"

воспитательная – воспитывать самостоятельность, активность и интерес к математике.

Тема: «Сфера. Сечения шара плоскостью»

Урок изучения нового материала

образовательная – введение понятий сфера и её элементов путём связи окружности и сферы; исследование взаимного расположения сферы и плоскости;

развивающая – развитие пространственного воображения, логического мышления: умение сравнивать, проводить аналогии из планиметрии;

воспитательная – воспитывать самостоятельность, активность и интерес к математике.

Сообщение темы и целей урока.

Актуализация знаний( из планиметрии): окружность и элемент окружности.

Введения понятия сфера.

Введение элементов сферы.

Теорема о сечении сферы плоскостью.

Оборудование: учебное пособие «Математика 11 класс» Латотин, Чеботаревский, циркуль, линейка.

1. Организационный момент.

Приветствие и отметить отсутствующих.

2. Сообщение темы и целей урока.

Учитель: Сегодня на уроке мы познакомимся с новой фигурой – сферой, узнаем её основные элементы. Научимся рисовать сферу и её элементы. Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости. Записываем число, классная работа и тема: «Сфера. Сечение сферы плоскостью.»

3. Актуализация знаний.

Учитель: На перед этим давайте вспомним: что такое окружность?

Учащийся: Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости равноудалённой от данной точки (центра окружности).

Учитель: Давайте вспомним: что такое радиус окружности?

Учащийся: Радиусом окружности называется расстояние от точек окружности до центра окружности.

Учитель: Какой отрезок называют хордой окружности?

Учащийся: Хорда окружности – это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Учитель: Что такое диаметр окружности?

Учащийся: Диаметром окружности называют хорду, проходящую через центр окружности.

Учитель: На доске нарисована окружность. Назовите центр окружности, радиус, хорду и диаметр.

Учащийся: Центр окружности точка О

Радиус окружности: АО и ОВ.

Диаметр окружности: АВ.

Хорда окружности: CD и AB.

Учитель: Верно.

4. Введения понятия сфера.

Учитель: Давайте представим, что мы будем вращать окружность вокруг его диаметра. Что у нас получиться?

Учащийся: Получиться некоторая поверхность похожая на мяч.

Учитель: Верно. Полученная поверхность и называется сферой. Кто может дать определение сферы. Сферой называется поверхность …

Учащийся: Сферой называется поверхность , полученная вращением окружности вокруг какого-либо своего диаметра.

У читель: Верно. Записываем определение. Сферой называется поверхность , полученная вращением окружности вокруг какого-либо своего диаметра. Центр этой окружности называется центром сферы. Давайте ещё раз проговорим определение сферы.

Учитель: Давайте нарисуем сферу. Рисуем сначала окружность, затем отмечаем центр окружности. Если мы так оставим, то это будет просто окружность, теперь надо показать, что он объемный, для этого рисуем эллипс, который касается границ окружности. Причем надо смотреть какая сторона будет невидима.

5. Введения элементов сферы.

Учитель: Далее знакомимся с элементами сферы. Элементами сферы такие же как и элементы окружности, т.е. это радиус сферы, хорда сферы и диаметр сферы. Давайте дадим определение радиусу сферы.

Учащийся: Радиусом сферы называется расстояние от точек сферы до центра сферы.

Учитель: Верно. Записываем определение радиуса сферы.

Учитель: Дайте определение хорды сферы.

Учащийся: Хордой сферы называется отрезок соединяющий две точки сферы.

Учитель: Верно. А что такое диаметр сферы?

Учащийся: Диаметром сферы называется хорда проходящая через центр сферы.

Учитель: У нас уже есть рисунок сферы. Отметьте на нём радиус, хорду и диаметр сферы.

Радиус окружности: АО и ОP.

Диаметр окружности: АP.

Хорда окружности: KC и AP.

Учитель: Верно. Все молодцы.

5. Теорема о сечении сферы плоскостью.

Учитель: Давайте представим, что плоскость сечет сферы. Какая фигура будет в сечении?

Учащийся: Окружность.

Учитель: Записываем теорему. Теорема: Сечение сферы плоскостью есть окружность, центр, которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость.

6. Доказательство теоремы.

Учитель: Давайте докажем эту теорему. Что дано?

Учащийся: Сфера и секущая её плоскость, перпендикуляр, опущенный из центра сферы на центр основания секущей плоскости.

Учитель: Что надо доказать?

Учащийся: Сечение плоскости есть окружность.

Учитель: Давайте нарисуем рисунок и запишем, что дано.

Дано: сфера, плоскость пересекает сферу, OQ – перпендикуляр к секущей плоскости

Д оказать: сечение сферы плоскостью есть окружность

Учитель: Необходимо доказать, что сечение плоскостью есть окружность. Как можно доказать, что фигура является окружностью?

Учащийся: Это значит, что все точки равноудалены от центра.

Учитель: Чем является XО и YО для сферы? Если О центр сферы, а X и Y точки на сфере?

Учащийся: XО и YО это радиусы сферы, а ,значит, XО=YО.

Учитель: Т.е нужно доказать, что XQ=QY. Чтобы доказать равенство отрезков, что нужно сделать?

Учащийся: Доказать равенство треугольников XQО и QYО.

Учитель: Какие по виду эти треугольники?

Учащийся: Треугольники XQО и QYО прямоугольные.

Учитель: Будут ли равны эти треугольники?

Учащийся: Да. Т.к. QО – общее и XО=YО, т.к. это радиусы сферы .Значит, треугольники XQО и QYО равны.

Учитель: Какой можно сделать вывод?

Учащийся: XQ=QY.

Учитель: Записываем доказательство.

∆XQO и ∆YQO – прямоугольные, т.к. OQ┴ плоскости сечения и XQ, YQ принадлежит плоскости сечения.

∆XQO═∆YQO по общему катету OQ, гипотенузе XO и OY как радиусы сферы.

т.к. ∆XQO═∆YQO, значит, XQ═YQ, если взять любые точки сечения то получиться также равные треугольники из которых будет следовать равенство катетов этих треугольников, т.е все точки равноудалены от точки Q.

Учитель: Всё ли было понятно? Есть вопросы по доказательству? Как вы думаете, какой наибольший радиус может иметь секущая плоскость?

Учащийся: Радиус секущей сферы будет наибольшим, если секущая плоскость пройдёт через центр сферы.

Учитель: Верно. Следствие: Радиус r сечения сферы плоскостью удовлетворяет условию 0

7. Решение заданий.

Учитель: Теперь давайте решим задания.

Радиус окружности, полученной при пересечении сферы радиусом 5 см плоскостью равен 3 см. Найдите расстояние от центра сферы до центра секущей плоскости.

Сечение радиусом 18 см отстоящей от центра сферы на 5см. Найдите радиус сферы.

Найдите радиус окружности, полученной при пересечении сферы радиусом 35см плоскостью, если данная плоскость находится на расстоянии 15 см от центра сферы.

Учитель: Решаем задание 1. Что нам дано?

Учащийся: Сфера с радиусом 5см, плоскостью сечения 3 см.

Учитель: Что надо найти?

Учащийся: Нужно найти расстояние от цента сферы до плоскости сечения.

Учитель: Давайте сделаем рисунок и запишем дано.

Д ано: сфера, плоскость сечения, OB=R=5см, AB=r=3см

Учитель: Как будем искать ОА?

Учащийся: Нужно найти расстояние от цента сферы до плоскости сечения.